Fréquence statistique et lois fréquence/magnitude

L’estimation de l’aléa dans une région donnée dépend non seulement du lieu et de l’instant où se produira un événement naturel, mais aussi de sa taille.

Or, l’observation montre que la gamme d’échelle sur laquelle varie la taille d’un événement est généralement très étendue. On caractérise donc généralement ces tailles par des distributions statistiques obtenues empiriquement et/ou confirmées par modélisation numérique.

En règle générale, pour un aléa donné, plus la taille d’un événement est forte, plus il arrive rarement.

Dans les études d’aléa, on considère que lorsqu’un séisme se nuclée, sa taille est une variable aléatoire dont la distribution statistique est donnée par la loi de Gutenberg-Richter.

Cette hypothèse permet notamment de réexprimer la loi fréquence/magnitude par rapport au temps.

La forme de la loi est donc conservée, mais désormais N(M) représente par exemple le nombre de séismes annuels de magnitude supérieure ou égale à M (ou rapporté à toute autre échelle de temps).
La période de retour d’un événement de taille M est alors simplement 1/N(M).

Cette période de retour est donc d’autant plus importante que la magnitude M est forte (et décuple à chaque fois que la magnitude augmente d’une unité).

Exemple

Loi Gutenberg-Richter pour la sismicité de la Californie du Sud

La figure ci-dessus montre donc cette distribution normalisée temporellement pour la région Sud-Californienne.
L’aspect en escaliers provient du fait que les magnitudes sont données à une décimale près dans le catalogue.

Cette figure montre que l’on enregistre environ 200 séismes par an de magnitude supérieure à 3, et qu’il s’y produit environ un séisme par an de magnitude supérieure ou égale à 5,5.

Crédits: G. Ouillon, contribution personnelle.

Il faut toutefois noter que cette opération suppose que le taux de sismicité est constant en moyenne dans le temps, et que la magnitude de chaque tremblement de terre est totalement indépendante de celle de tout ceux qui l’ont précédé.

Cette hypothèse est sans doute erronée du point de vue physique mais, en l’absence de modèles physiques robustes et définitifs, elle est adoptée dans les études d’aléa.

Si l’on se restreint à l’utilisation des données de la seule sismologie instrumentale, la plus grande période de retour calculable est de l’ordre de la durée du catalogue sismique disponible, c'est-à-dire tout au plus quelques dizaines d’années.

Ceci ne permet donc pas de caractériser empiriquement la période de retour des événements les plus gros.

Afin de mieux échantillonner les longues périodes de retour, qui de par leur amplitude finissent par s’effacer de la mémoire humaine, on utilise les données provenant de diverses autre sources : sismologie historique, archéosismologie et paléosismologie. Ces diverses sources permettent en particulier de quantifier et de dater des événements de fréquence très faible, qui sont ceux qui menacent le plus nos sociétés.

Les lois de types Gutenberg-Richter sont très fréquentes dans la distribution des phénomènes naturels. Les événements les plus intenses sont les plus rares.

Si l’on considère la loi de Gutenberg-Richter et que l’on convertit la magnitude en énergie, la distribution cumulative des tailles de séismes devient :

N ( E ) =  K . E ^-B

Où K est une constante et B=2b/3. La forme de cette loi s’appelle une « loi de puissance », en référence à l’exposant (puissance) qui apparaît dans cette expression.

Des formes analogues s’observent pour la distribution de taille des glissements de terrain (en remplaçant l’énergie par le volume rocheux déplacé), ou des éruptions volcaniques (la variable étant par exemple la masse d’ejectas), avec bien sûr des valeurs différentes de K et B.

Exemple

Loi fréquence/VEI pour les éruptions volcaniques dans le monde entier.

La figure ci-dessus montre donc la loi fréquence/VEI pour les éruptions volcaniques dans le monde entier.

On notera la brisure de linéarité pour les plus fortes valeurs du VEI. Cette brisure peut révéler l’existence d’un VEI maximal que l’on ne peut dépasser (la loi décroit donc très vite vers 0) ou un problème d’échantillonnage (les forts VEI étant les plus rares). Les données sont normalisées par rapport au temps sur des catalogues de durées diverses indiquées par des symboles différents. Les noms de quelques éruptions célèbres sont indiqués pour chaque valeur de VEI.

Crédits: Tom Simkin and Lee Siebert « Earth’s volcanoes and eruptions: an overview”, in “Encyclopedia of volcanoes”, Academic Press, 2000.

La raison pour laquelle les distributions de tailles d’événements s’expriment sous la forme d’une loi de puissance n’est pas encore connue, et fait l’objet d’une recherche très intense.

Bien entendu, la taille maximale possible d’un événement dans une région donnée peut dépasser celle du plus gros événement observé dans le jeu de données.

Cette taille maximale peut être déterminée à partir de données de terrain et/ou par des modélisations numériques (par exemple en considérant la vitesse de déplacement moyenne sur le long terme le long d’une faille, telle qu’elle peut être révélée par les techniques de la néotectonique).

On peut alors extrapoler la loi fréquence-magnitude jusqu’à cette taille maximale afin d’en déduire la période de retour plausible.